直方图bin数目的选择

bin 的数目( $k$ )对直方图的展示效果有着明显的影响，但目前并没有一种“最好”的方法来确定 bin 的数目。常用的几种方法包括：

Square-root choice

k = ⌈ \sqrt{n} ⌉

其中 $n$ 为样本数，若 $k$ 为小数，则向上取整。

Sturges' formula 假设数据服从正态分布，在 $n < 30$ 以及数据不服从正态分布的情况也可能表现不佳；同时该方法在较大的数据集中可能给出较大的 bin 宽度（即较少的 bin），导致图形过于平滑。

k = ⌈ \log_{2} n ⌉ + 1

Rice rule 是一种 Sturges' formula 的简单替换。

k = ⌈ 2 \sqrt[3]{n} ⌉

Doane's formula 是一种 Sturges' formula 的改进版，以提高在非正态数据上的适用性，因此比较推荐这种方法。

k = 1 + \log_{2} (n) + \log_{2} (1 + \frac{| g_{1} |}{σ_{g_{1}}})

其中， $g_{1}$ 是偏度（三阶矩估计）

σ_{g_{1}} = \sqrt{\frac{6 (n - 2)}{(n + 1) (n + 3)}}

Scott's normal reference rule 比较适用于从正态分布数据中随机抽取的样本。

h = \frac{3.49 \hat{σ}}{\sqrt[3]{n}},

k = \frac{m a x (x) - m i n (x)}{h}

其中， $h$ 为每个 bin 的宽度， $\hat{σ}$ 为样本标准差。

Freedman–Diaconis' choice 是一种 Scott's normal reference rule 的改进型，用四分位距来代替样本标准差，可以降低离群值的干扰。

h = 2 \frac{IQR (x)}{\sqrt[3]{n}}

k = \frac{m a x (x) - m i n (x)}{h}

其中，四分位距 $I Q R = Q 3 - Q 1$ 。

MATLAB 整数规则

整数规则对整数数据有用，因为它为每个整数创建一个 bin。它使用 bin 宽度 1 并将 bin 边界放在整数的中间。为避免无意间创建太多 bin，可以使用该规则创建 65536 ( $2^{16}$ ) 个 bin 的限制。如果数据范围大于 65536，则整数规则改用更宽的 bin。